Question

如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发，要把一份文件交给这辆汽车的司机．

（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中？

（2）求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成角的大小．

（3）若快艇每小时最快行驶，快艇应如何行驶才能尽快把文件交到司机手中？最快需多长时间？

Answer

（1）快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中；（2）快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°；（3）快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中，最快需要4h．

【解析】

(1)画图分析,设后与汽车在C处相遇,再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程,再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系,再利用二次不等式的最值分析即可.

(2)根据(1)中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系,进而求得时间即可.

(3)设快艇以的速度沿行驶,后与汽车在E处相遇,同(1)中的方法求得三角形各边的关系分析即可.

（1）如图所示,设快艇以的速度从B处出发,沿方向行驶,后与汽车在C处相遇.

在中,,,,为边上的高,.

设,则,.

由余弦定理,得,

即,

整理得

.

当,即时,,∴.

即快艇至少以的速度行驶才能把文件送到司机手中.

（2）由（1）可知,当时,在中,

,,,由余弦定理,得,∴.

故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°.

（3）如图所示,设快艇以的速度沿行驶,后与汽车在E处相遇.

在中,,,,.

由余弦定理,得,

解得或（舍去）,

∵当时,,,,∴快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需要4h.