Question

已知矩阵M＝，向量β＝，求M⁴β.

Answer

M4β＝.

【解析】

若矩阵M的特征值为λ1，λ2，对应的特征向量为α1，α2，且β＝mα1＋nα2，则M4β＝mM4α1＋nM4α2＝mλα1＋nλα2.

矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ－3)(λ＋1)．

令f(λ)＝0，得特征值λ1＝3，λ2＝－1.

属于λ1＝3的一个特征向量为α1＝，属于λ2＝－1的一个特征向量为α2＝.

设β＝mα1＋nα2，即，所以，解得m＝4，n＝－3，

即β＝4α1－3α2，

所以M4β＝4M4α1－3M4α2＝4α1－3α2＝324－3＝.