Question

已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：

①；

②；

③；

④；

则点分别为的（   ）

A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心

Answer

D

【解析】

先考虑直角，可令，，，可得，，，设，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰，底角为，设，，，，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心．

先考虑直角，可令，，，

可得，，，设，

①，即为，

即有，，解得，

即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1，

则为的内心；

③，

即为，

可得，，解得，，

由，故为的外心；

④，可得，

即为，，解得，，

由的中点为，，，即分中线比为，

故为的重心；

考虑等腰，底角为，

设，，，，

②，

即为，

可得，，解得，，

即，由，，即有，

故为的垂心．

故选：D