Question

如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．

(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？

(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

Answer

（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元

【解析】

试题（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.

试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，

即，

=

当且仅当，即时等号成立，

所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米

（2）在(1)的条件下，因为．

由

得

，

元

所以，建水上通道还需要万元．

解法二：在中，

在中，

在中，

=

元

所以，建水上通道还需要万元．

解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，

,即，设

由，求得， 所以

所以，

元

所以，建水上通道还需要万元．