Question

小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P、A、B三点共线，O为直线外一点，且时，x+y=1（如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.

（1）当x+y>1或x+y<1时，O、P两点的位置与AB所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由

（2）如图2，射线OM∥AB，点P在由射线OM、线段OA及BA的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求实数x的取值范围，并求当时，实数y的取值范围.

（3）过O作AB的平行线，延长AO、BO，将平面分成如图3所示的六个区域，且，请分别写出点P在每个区域内运动（不含边界）时，实数x，y应满足的条件.（不必证明）

Answer

（1）若，则O、P异侧；若，则O、P同侧，理由见解析；（2），；（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．

【解析】

运用平面向量基本定理和三点共线的结论可解决此问题．

【解析】
（1）若，则O、P异侧，若，则O、P同侧；理由如下：

设，则由得，

，

当时，与同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P异侧；

当时，与反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O、P同侧；

（2）由图及平面向量基本定理可知，，即实数的取值范围是，

当时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，；

（3）Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：；Ⅳ：；Ⅴ：；Ⅵ：．