Question

已知正三棱柱中，所有棱长都是3，点D，E分别是线段和上的点，.

（1）试确定点E的位置，使得平面，并证明；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值的大小.

Answer

（1）E为三等分点，且，证明见解析；（2）

【解析】

（1）取E为AC的三等分点，且AC=3AE，过E作EK∥CC1，且，得到四边形BEKD为平行四边形，有BE∥KD，由线面平行的判定可得BE∥平面ADC1；
（2）设AC中点为M，设A1C1的中点为P，分别以MA，MB，MP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由直线与平面所成角的正弦值为，可得E点坐标为，然后分别求出平面ABE与平面BEC1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BE-C1的余弦值．

（1）取E为三等分点，且，过E作，

则，所以为平行四边形，

所以，又，，

所以平面，证毕；

（2）设中点为M，设中点为P，

分别以，，为x，y，z建立空间直角坐标系，

则A（，0，0），C（，0，0），B（0，，0），（，0，3），

，，

设平面的一个法向量为，

由，取，

可得，

设E点坐标为，

，

由直线与平面所成角的正弦值为，

解得，

可得E点坐标为，

即，

易求平面法向量，

设平面法向量，

，，

由，取，

可得，

，

又因为二面角为钝角，

所以所求余弦值为.