Question

已知定义在上的函数.

（1）讨论的单调区间

（2）当时，存在，使得对任意均有，求实数M的最大值.

Answer

（1）见解析；（2）1

【解析】

（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，
（2）根据（1）的结论可得故存在，使得，且当时恒成立，由可得，再构造函数（），利用导数求出函数的最值即可．

（1），

①时，，在上单调递增；

②时，令得，故增区间为，

令得，故减区间为；

③时，，则在上单调递减.

（2）易知，

由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，

则，

又，

故存在，使得，

且当时恒成立，

故.

由可得，

设（），

则，

令（），

则，

，

则在上单调递增，故，

则在上单调递增，故，

则，在上单调递增，

又，

，，故，

则，

又，故，即M的最大值为1.