Question

已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列.

（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；

（2）证明（1）中的猜想；

（3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值.

Answer

（1），，，；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）代入，求出，，，猜想出即可；

（2）利用等差数列的定义证明即可；

（3）由（2）知，，因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数，所以，，此时，因为的任意性，不妨设，求出即可．

（1）【解析】
由已知，

所以，，，

猜想

证明（2）当时，，

所以

得，

因为，所以

数列为等差数列，又由（1），

所以

（3）解由（2）知，.

若，则，

因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数

所以，，此时，

设，则，所以或2

①当时，对于任意，

②当时，对于任意，

所以实数取值的集合为