Question

已知函数，其中为常数.

（1）当时，解不等式；

（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有.若，且，求函数的反函数；

（3）若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．

（2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．

（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果．

【解析】
（1）解不等式

当时，，所以

当时，，所以，

综上，该不等式的解集为

（2）当时，，

因为是以2为周期的偶函数，

所以，

由，且，得，

所以当时，

所以当时，

，

所以函数的反函数为

（3）①当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

②当时，在上，是上的增函数，所以

所以，得；

③当时，在上不单调，所以

，，

在上，.

，不满足.

综上，的取值范围为.

③当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是

令，解得或，不符合题意；

④当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，

令，解得或，不符合题意.

综上，所求实数的取值范围为.