Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD的中点.现分别沿BE，EC将△ABE 和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2.

（1）若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由.

（2）求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.

Answer

(1)点G的轨迹是直线MN，见解析；(2)

【解析】

（1）分别取和的中点和，连接，，，根据线线平行可证明平面平面,则可判断点的轨迹；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，代入公式求解.

（1）点G的轨迹是直线MN.

理由：如图，分别取BC和CE的中点N和M，连接DM，MN，ND，则MN//BE.

又MN平面BEA，BE平面BEA，所以MN//平面BEA.

依题意有△ABE，△BCE，△ECD均为边长为2的正三角形，所以MD⊥CE.

又平面ECD⊥平面BCE，则MD⊥平面BCE.又平面ABE⊥平面BCE，所以MD//平面BEA.

所以平面NMD//平面BEA，则点G的轨迹是直线MN.

（2）如图，以点M为坐标原点，MB所在直线为x轴，MC所在直线为y轴，MD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，-1，0），D（0，0，），A，所以，.

设平面AED的法向量为，则

取，得. 取平面BCE的一个法向量为，

则， 所以平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值为.