Question

已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k＇.若，求证△OPQ的面积为定值，并求此定值.

Answer

（1）；（2）△OPQ的面积为定值，且此定值为，见解析

【解析】

（1）根据等腰直角三角形可知，，根据求解椭圆方程；（2）当与轴垂直时，设，代入和椭圆方程，得到面积，当与轴不垂直时，设直线l的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值.

（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2.依题查，有得，则，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）证明：①当直线1与x轴垂直时，设直线l的方程为，，.

由，且，解得，或，，所以.

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，，.

联立直线l和椭圆C的方程，得整理得.

，，.

由，则，即，

所以，

即，整理得，则.

又，

点O到直线PQ的距离为，所以.

综上，△OPQ的面积为定值，且此定值为.