Question

已知双曲线的焦点，渐近线方程为，直线过点且与双曲线有且只有一个公共点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求直线的方程.

Answer

（1）；（2），或

【解析】

（1）根据双曲线的焦点的位置以及渐近线方程设出双曲线的标准方程，再结合焦点的坐标求解即可；

（2）先考虑直线的斜率不存在时，是否符合题意，而后考虑直线的斜率存在时，设出直线的斜率，与双曲线的方程联立，根据方程的类型进行讨论，最后求出直线的方程.

（1）双曲线的焦点在轴上，设其方程为

又.

故双曲线的标准方程为

（2）当直线的斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.

所以直线的斜率一定存在，

设直线的方程为.

由得.

当时，即

若，方程无解；

若，由方程得.

此时直线方程为

即.

当时，由，

得.此时直线方程为.

综上，所求直线的方程为，或.