Question

已知a  R， a0，函数 f (x)  e^ax1 ax ，其中常数e  .

（1）求 f (x) 的最小值；

（2）当a ≥1时，求证:对任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax².

Answer

(1)0；(2)证明见详解.

【解析】

（1）求导，对函数的单调性进行讨论，从而求得最小值；

（2）将不等式恒成问题，进行转换，结合（1）中的结论，构造新的函数，将问题转换为最值的问题即可.

（1）因为，则，

故为R上的增函数，令，解得

故当，单调递减；

当，单调递增，

则

故函数的最小值为0.

（2）证明：要证明xf (x) ≥ 2ln x 1

等价于证明

由（1）可知：，即

因为，故

故等价于证明

即

令，即证恒成立.

又

令，解得

故当，单调递减；

当，单调递增；

故

有因为，故

故即证.

即对任意 x0 ，都有 xf (x) ≥ 2ln x 1 ax2.