Question

（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值；

（2）若三角形有一个内角为，周长为定值，求面积的最大值；

（3）为了研究边长满足的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：（其中， 三角形面积的海伦公式），

∴

，

而，，，则，

但是，其中等号成立的条件是，于是与矛盾，

所以，此三角形的面积不存在最大值．

以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．

Answer

（1）；（2）16；（3）见解析.

【解析】

试题

(1)由题意结合均值不等式的结论可得周长最小值为

(2)由题意得到面积函数，结合均值不等式的结论可得，即面积最大值为

(3)题中的解答存在问题，利用海伦公式三边可互换进行解答可得面积最大值为16.

试题解析：

（1）设两直角边为，斜边为 ，

∴，即周长最小值为

（2）设夹的两边为，则第三边，∴，

∴，∴，

∵，∴，即，

，即面积最大值为

（3）不正确，∵海伦公式三边可互换，

∴，

即，此时，，面积最大值为16