Question

现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义，两点间的“直角距离”为：.

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）

（2）求到两定点、的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）

①，，；

②，，；

③，，.

（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.

①到，两点“直角距离”相等；

②到，两点“直角距离”和最小.

Answer

（1）、、、、、、、

（2）答案不唯一，见解析

（3）、、、、、、、、，理由见解析

【解析】

（1）由“直角距离”的定义知，进而得到所求点坐标；

（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；

（3）由条件①可得：；由条件②可得：，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.

（1）由“直角距离”的定义可知所求点坐标满足：

则所求点为：、、、、、、、

（2）条件①：动点轨迹方程为：

⑴当，时，；⑵当，时，；

⑶当，时，；⑷当，时，；

⑸当，时，；⑹当，时，

条件②：动点轨迹方程为：

⑴当，时，；⑵当，时，；

⑶当，时，；

由对称性可得其他部分图形

条件③：动点轨迹方程为：

⑴当，时，；⑵当，时，；

⑶当，时，

由对称性可得其他部分图形

（3）满足条件的格点有、、、、、、、、

对于①，设满足到、两点“直角距离”相等

即满足，可得：

对于②，设到、两点“直角距离”和最小

即

当且仅当且时等号成立

可得：

在直角坐标系中画出分别满足条件①、②的点构成的区域，如下图所示：

则同时满足条件①、②的格点的坐标是：、、、、、、、、