Question

已知函数，a为实数.

（1）当时，讨论的零点个数；

（2）若，都有，求实数a的取值范围.

Answer

（1）有一个零点；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，当时，，证明成立即可得出，进而可证在上单调递增，可得函数只有一个零点；

（2）先求出，由题可知在上是增函数，，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定出的范围即可.

（1），

当时，，

令，则，所以函数在处的切线方程为，即，

所以，即，

故在上单调递增，即有一个零点；

（2），

当时，，即在上是增函数，

，

当时，，在上是增函数，

故有，即；

当时，，使得，

当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函数，

故有与相矛盾，

综上，.