Question

函数，，.

（1）设，假设在上递减，求的取值范围；

（2）假设，求证：.

（3）是否存在实数，使得恒成立，假设存在，求出的取值范围，假设不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）存在实数

【解析】

（1）由在递减，得在恒成立， ，即可得到本题答案；

（2）要证明时，，只需证明当，，算出的最小值和的最大值，即可得到本题答案；

（3）分和考虑的最小值，即可得到本题答案.

（1），，

由在递减，得在恒成立，所以，

即，而，当且仅当时，等号成立，因此，

即的取值范围是；

（2）要证明时，，只需证明当，，

当时，，，令，得

当时，，递减，

当时，，递增，

因此，

，令，解得

当时，递增，当时，递减，因此，而，，因此成立，即时，；

（3），，

①当时，，在上递减，因此

假设恒成立，那么，即，与矛盾；

②当时，令，得.

1.当时，即，当时，递减，当时，递增，因此，当时，取到唯一的极值，又是极小值，因此.

假设恒成立，即，解得.

2.当时，即，当时，递减，因此，

假设恒成立，那么，即，与矛盾.

综上，存在实数，使得恒成立.