Question

如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明及，即可证明：平面，问题得证．

（2）建立空间直角坐标系，由（1）得为平面的法向量，求得平面的法向量为，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角的余弦值.

（1）证明：因为，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

又平面，所以，

因为为中点，且为等边三角形，所以.

又，所以平面.

（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，

因为平面平面，所以平面，

所以，由，，

可知，所以.

以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

所以，，，，，

所以，，

由（1）知，为平面的法向量，

因为为的中点，

所以，

所以，

设平面的法向量为，

由，得，

取，则.

所以 .

因为二面角为钝角，

所以，二面角的余弦值为.