Question

椭圆的左焦点为，短轴长为，右顶点为，上顶点为，的面积为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过作直线与椭圆交于另一个点，连接并延长交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程.

Answer

(1) (2)

【解析】

试题（1）根据题意布列方程组，从而得到椭圆的标准方程；（2）设所在直线斜率存在时由得到，借助韦达定理表示，利用换元法转为二次函数最值问题，即可得到直线的方程.

试题解析：

（Ⅰ）根据短轴长知，，

则，

因为，则，

故，

则椭圆方程为．

（Ⅱ）设所在直线斜率存在时

，①

，

，．

代入①式得，

令，则，

，

当不存在时，．

故当面积最大时，垂直于轴，此时直线的斜率为，

则直线方程：．