Question

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求C；

（2）若，的面积为，求的周长；

（3）若，求周长的取值范围；

（4）若，求面积的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值；

（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求出的周长；

（3）利用正弦定理和三角恒等变换，结合三角函数的图象与性质，即可求出周长的取值范围；

（4）利用余弦定理和基本不等式求得面积的最大值，即可得出面积的取值范围.

（1）中，，

由正弦定理可得：，

即，

又，，

∴，求得.

（2）由的面积为，

即，

∵，∴，

由，利用余弦定理，可得，

即，∴，

即的周长为.

（3）∵，，

由正弦定理得，，

∴的周长为，

又，∴，

则

，

∵，∴，

∴，，

即，

∴周长的取值范围是.

（4）由，，

利用余弦定理可得：，

可得，当且仅当时取等号，

∴面积的最大值为，

∴面积的取值范围是.