Question

设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．

（1）求f（0）的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．

Answer

（1）0（2）奇函数 （3）

【解析】

1）函数y＝f（x）的定义域为R，赋值令x＝y＝0，则可求f（0）的值；

（2）令y＝﹣x，结合f（0）的值，可得结论；

（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）＝f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

（1）∵函数y＝f（x）的定义域为R，

令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0；

（2）令y＝﹣x，得 f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；

（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：

任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＞0

∴f（x1）＜f（x2）

故f（x）是R上的增函数．

由f（）＝1，

∴f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2

那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）

∵f（x）是R上的增函数．

∴2+2x，

解得：x，

故得x的取值范围是（﹣∞，）.