已知函数. （1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明....

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

（1）见解析（2），证明见解析【解析】（1）先求导可得,分别讨论和的情况,进而求解即可；（2）设,当时由单调则不符合题意；当时,,可得,利用零点存在性定理可判断,,进而求解即可；由于,可得,,则,设可得,进而证明在时恒成立即可（1）由题意得, ①当时,,所以在上单调递增； ②当时,由,得, 当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增. （2）由于有两个零点,不妨设, 由（1）可知,当时,在上单调递增,不符合题意；当时,,,即,解得, 此时有,所以存在,使得, 由于,所以在上单调递增, 所以当时,,所以在上单调递增, 所以当时,；所以, 所以存在,使得, 综上,当时,有两个零点. 证明:由于,,且,则, 所以,,所以, 设,有,则, 要证,只需证,即证, 设,则, 所以在上单调递增,所以当时,,即, 故

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考点分析：

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