Question

如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为( )

A.①③ B.③④ C.①② D.②③④

Answer

A

【解析】

在①中：由题意得 AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．

如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，

∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，

∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，

因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

∴恒成立的结论是：①③．

故选：A．