Question

如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，O为AD中点.

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）由已知可证，异面直线所成的角找到，在三角形中求解即可；

（2）用体积法求得到平面的距离，然后再根据体积比求解．

（1）∵，，连接，

所以，，∴四边形是平行四边形，∴，

所以异面直线PB与CD所成角是或其补角．，

，是中点，则，又平面平面ABCD且平面平面ABCD，∴平面，∴，

在中，由，得，，

∴．．

∴异面直线PB与CD所成角的余弦值为；

（2）连接，由（1），是正方形，，，是正三角形，

∴．

又，

设到平面的距离为，

由得，即，，

∵，∴线段AD上存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

且，∴．