Question

设平面上向量＝(cosα，sinα) (0°≤α＜360°)，＝(－，)．

(1)试证：向量与垂直；

(2)当两个向量与的模相等时，求角α.

Answer

(1)见解析；(2)α＝30°，或α＝210°.

【解析】

本试题主要是考查了向量的数量积的运算，以及向量的数量积的性质的运用，以及三角函数的变形运用，和三角方程的求解的综合试题．

（1）根据已知要证明向量与垂直，则利用数量积为零即可．

（2）由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，利用模相等，则平方后相等来解得关于角α的方程，然后解三角方程得到角的值．

【解析】
(1)(＋)·(－)＝(cosα－，sinα＋)·(cosα＋，sinα－)

＝(cosα－)(cosα＋)＋(sinα＋)(sinα－)

＝cos2α－＋sin2α－＝0，

∴⊥． ……4分

(2)由||＝1，||＝1，且|＋|＝|－|，平方得(＋)2＝(－)2，

整理得22－22＋4＝0①.

∵||＝1，||＝1，∴①式化简得·＝0，

·＝(cosα，sinα)·(－，)＝－cosα＋sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.

∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°