Question

已知函数.

（1）证明：为偶函数；

（2）设，若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围.

（3）是否存在正实数，使得在区间上的值域刚好是，若存在，请写在所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）（3）不存在这个区间，见解析

【解析】

(1)利用定义判断函数的奇偶性，先求定义域，再推出即可证出为偶函数；

(2)通过分离参数，构造新函数和换元，转化成二次函数求最值即可；

(3)由的解析式，可知它的单调性，求出的最大值和最小值，与题意是否矛盾，即可知是否存在.

（1）证明：由题可知的定义域为，

，根据奇偶函数定义函数为偶函数.

（2）因为所以，化简（1）

令，设，

是方程有最大值5，时，代入（1）得到.

（3）假设存在因为

，因为是正实数，所以函数在区间递增，

，

假设不成立，所以不存在这个区间