Question

定义在上的函数，如果满足；对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（Ⅱ）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，求函数在上的上界的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（3，+∞），不是有界函数．（Ⅱ）﹣5≤a≤1；（Ⅲ）当时，T的取值范围是；当时，T的取值范围是[，）

【解析】

（Ⅰ）当a＝1时，易知f（x）在（0，+∞）上递增，有f（x）＞f（0）＝3，再由给出的定义判断；

（Ⅱ）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．

（Ⅲ）据题意先研究函数g（x）在[0，1]上的单调性，确定函数g（x）的范围，即分别求的最大值和最小值，根据上界的定义，T不小于最大值，从而解决．．

（Ⅰ）当a＝1时，

因为f（x）在（0，+∞）上递增，所以f（x）＞f（0）＝3，

即f（x）在（0，+∞）的值域为（3，+∞）故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立

所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．

（Ⅱ）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3

设t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3

当0时，1且2+a≤3得﹣2≤a＜0

当或

即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1

综上有﹣5≤a≤1

（Ⅲ），

∵m＞0，x∈[0，1]

∴g（x）在[0，1]上递减，

∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

①当，即时，，

此时，

②当，即时，，

此时，

综上所述，当时，T的取值范围是；

当时，T的取值范围是[，）