Question

如图，五面体中，，平面平面，平面平面.，，点P是线段上靠近A的三等分点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意，分别取，的中点M，N，连接，，，.

由题可知，.设，则，由平面平面，得平面，同理平面.，从而.，则平面；由，所以，所以是以为斜边的等腰直角三角形，再由，，得到.则平面.，再由面面平行的判断定理得到平面平面，从而得证。

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，得到，.求得平面的一个法向量，再求得的坐标，利用线面角的向量法求解。

（Ⅰ）

如图，分别取，的中点M，N，连接，，，.

由题可知，.设，

易知，且.

因为平面平面，

所以平面.同理平面.

所以.

因为平面，平面，

故平面.

因为，，

所以.

因为，

所以，

所以是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，而，则.

因为平面，平面，

所以平面.

因为，

所以平面平面.

因为平面，所以平面.

（Ⅱ）

如图，连接，以P为原点，，所在直线分别为x轴，y轴，以过点P且垂直于平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，，，，，

所以，.

设为平面的一个法向量，

则即

取，则，，即.

易知.

设直线与平面所成的角为.

故，

即直线与平面所成角的正弦值为.