Question

已知点、分别是椭圆的上、下顶点，以为直径作圆，直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点.

（1）若直线的倾斜角为，求（为坐标原点）的面积；

（2）若点、分别在直线、上，且，求直线的斜率.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，计算出点的横坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积；

（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求点的坐标，由可知直线、的斜率互为相反数，利用斜率公式可得出关于的方程，解出即可.

（1）依题意，可知，，直线.

联立，消去可得，故.

将点横坐标代入直线的方程可得.

易知，故的面积；

（2）设直线，联立，得，

设，依题意，.

因为，所以，故:，则点.

若，则，即，

解得，即直线的斜率为或.