Question

已知函数，.

（1）若，判断函数的单调性并说明理由；

（2）若，求证：关的不等式在上恒成立.

Answer

（1）函数在上单调递减，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，分析导数在区间上的符号，即可得出结论；

（2）将所证不等式变形为，证明出，于是将不等式转化为证明，通过证明出，将不等式转化为，然后构造函数，利用单调性证明即可.

（1）函数在上单调递减，理由如下：

依题意，，则.

当时，，故函数在上单调递减；

（2）要证，即证，

即证.

设，则.

当时，，所以在上单调递增，

所以，即.

故当时，，

故即证.

令，.

由（1）可知，，

故在上单调递增.

所以，当时，，即，

所以，当时，，

所以只需证明，即证明.

设，则.

所以在上单调递增，所以，所以原不等式成立.