Question

如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点P是圆弧上的一动点（不与重合），点Q是圆弧的中点，且点在平面的两侧.

（1）证明：平面平面；

（2）设点P在平面上的射影为点O，点分别是和的重心，当三棱锥体积最大时，回答下列问题.

（i）证明：平面；

（ii）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）

【解析】

（1）由，可得平面，即可证明；

（2）（i）连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接，利用平行线分线段成比例可得，即可得得证；

（ii）根据即可求解.

（1）证明：因为是轴截面，

所以平面，所以，

又点P是圆弧上的一动点（不与重合），且为直径，

所以，

又，平面，平面，

所以平面，平面，

故平面平面.

（2）当三棱锥体积最大时，点P为圆弧的中点.所以点O为圆弧的中点，

所以四边形为正方形，且平面.

（i）证明：连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接，

则，

因为分别为三角形的重心，所以，

所以，

所以，

又平面，平面，

所以平面.

（ii）因为平面，

所以，

又，，

所以平面，

因为，

所以平面，即平面，即是三棱锥的高.

又，，

所以.