Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解不等式，即可得答案；

（2）当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，只要证，再利用函数的单调性，即可证得结论.

（1）.

①当时，单调递增；

②当时，单调递减；

单调递增.

综上：当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，

当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；

当时，在单调递减，在单调递增，则.

不妨设，

要证，即证，即证，即证.

因为在单调递增，即证，

因为，所以即证，即证.

令

，

.

当时，单调递减，又，

所以时，，即，

即.

又，所以，所以.