Question

已知圆经过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线与圆交于两点，问在直线上是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) (x-3)2+(y-2)2=13 (2) 在直线上存在定点N()，使得

【解析】

试题(1)由题意得到直线AB的方程，直线AB与直线的交点即圆心，从而得到圆的方程；

（2）假设存在点N(t,2)符合题意，，设直线AB方程为，与圆的方程联立利用韦达定理表示即可得到t值.

试题解析：

解(1)法一：直线AB的斜率为-1，所以AB的垂直平分线m的斜率为1

AB的中点坐标为()，因此直线m的方程为x-y-1=0

又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点.

联立方程租，得圆心坐标为C(3,2)，又半径r=，

所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13

法二：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

由题意得

解得a=3,b=2,r=

所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13

(2)假设存在点N(t,2)符合题意，

①当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为

联立方程组

，

消去y,得到方程

则由根与系数的关系得+

因为

所以

所以+

解得t=，即N点坐标为()

②当直线AB斜率不存在时，点N显然满足题意.

综上，在直线上存在定点N()，使得