Question

在三棱锥中，，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积为________.

Answer

【解析】

法一：根据已知线段长满足勾股定理，得出和，当三棱锥的体积取最大值时，可求出，即可得出外接球的半径，带入球的表面积公式从而得出外接球表面积.

法二：运用补形法，将三棱锥补形成长方体，即可求出求半径，因而得出球的表面积.

（解法一）：因为，所以，同理

当平面平面时，三棱锥的体积取最大值.

知是以为公共斜边的直角三角形，，

取的中点，得，知点即为三棱锥外接球的球心，此时三棱锥的外接球直径，则外接球的表面积为.

（解法二）：结合常见几何体鳖臑，将三棱锥补形成长方体，则恰为长方体体对角线即外接球直径.