Question

已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上一点，的离心率

（1）求椭圆的标准方程；

（2）斜率为的直线过点交椭圆于两点，线段的中垂线交轴于点，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.

Answer

（1）（2）是定值，

【解析】

(1)已知为椭圆上一点，可代入椭圆方程，结合离心率和，求出，即可得椭圆的标准方程；

(2)直线斜率时得出定值，时设出直线方程，联立方程组，利用弦长公式求出，再得出的中点坐标和线段的中垂线方程，得出点的坐标，从而求出,求得为定值.

（1）解得

∴椭圆方程为

（2）当时，

当时，直线方程为，假设两点坐标分别为，把直线代入椭圆方程中得：

，显然恒成立

则线段中点坐标为，

线段的中垂线方程为，即

令，则，

∴

综上所述，（定值）