Question

已知函数在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

Answer

（1），（2）2

【解析】

（1）先求导，将代入导函数得切线斜率，将代入原函数得切点纵坐标，再运用点斜式求出切线方程；

（2）法一：可知，先分离参数，构造新函数和，求出单调性，通过求出的最值，便得到的最大值.

法二：先通过构造新函数，求出单调区间，再用分离参数，利用基本不等式求出的最大值.

（1）∵，在处的切线方程为

∴∴

解得

（2）解法1：∵，由

∴

令，则

令，则

在上单调递增，

∴，使得，即

∴

在上递减，在上递增

，∵∴

∴

∵，∴整数的最大值为2

解法2：令

显然在上递增

当时，在上递增，，合题意

当时，，则，即

在上递减，在上递增

即，而恒成立

∴

∵，，∴.又∵.

若，，，使得，不合题意舍去.

若.

，在上递减，在上递增

∴，合题意

∴整数的最大值为2.