Question

已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．

（1）若，试求点的坐标；

（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；

（3）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

Answer

（1）或；（2）或；（3）详见解析．

【解析】

试题（1）点在直线上，设，由对称性可知，可得，从而可得点坐标．（2）分析可知直线的斜率一定存在，设其方程为：．由已知分析可得圆心到直线的距离为，由点到线的距离公式可求得的值．（3）由题意知，即．所以过三点的圆必以为直径．设，从而可得圆的方程，根据的任意性可求得此圆所过定点．

试题解析：【解析】
（1）直线的方程为，点在直线上，设，

由题可知，所以，

解之得：故所求点的坐标为或．

（2）易知直线的斜率一定存在，设其方程为：，

由题知圆心到直线的距离为，所以，

解得，或，

故所求直线的方程为：或．

（3）设，则的中点，因为是圆的切线，

所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，

故其方程为：

化简得：，此式是关于的恒等式，

故解得或

所以经过三点的圆必过定点或．