Question

在三棱锥中，，且底面为正三角形，为侧棱的中点，若，棱锥的四个顶点在球的表面上，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

根据等腰三角形三线合一及,可证明平面,即,即可求得底面正三角形的边长.由正三棱锥的外接球半径在正三棱锥的高上,可由勾股定理求得外接球半径R,即可求得球的表面积.

在三棱锥中,,且底面为正三角形,所以三棱锥为正三棱锥

设的中点为,连结,,如下图所示:

因为,,且

所以平面,

由直线与平面垂直的性质可知,又,

所以平面,

则,

,则底面正三角形的边长为

设该正三棱锥的外接球球心为,底面的中心为.由正三棱锥的性质可知平面

则

由勾股定理可得

设外接球的半径为R,则,解得

所以球的表面积为,

故选:C.