Question

如图所示的几何体中，为直三棱柱，四边形为平行四边形，， .

（1）若，证明：四点共面，且；

（2）若，二面角的余弦值为，求直线与平面所成角.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据三棱柱的性质及平行四边形性质,可证明四边形为平行四边形,则四点共面;由和可得四边形为正方形, 连接交于.在中由余弦定理可得,进而可知,则可证明平面,从而.

（2）结合（1）,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,用表示出平面和平面的法向量,利用二面角的余弦值为求得的值.由的值可判断出平面,所以在正方形中即可求得直线与平面所成角的大小.

（1）证明：因为为直三棱柱,

所以∥,且,

又因为四边形为平行四边形,

所以∥,且,

所以∥,且,

所以四边形为平行四边形,

所以,,,四点共面；

因为,又平面,

所以,所以四边形为正方形,

连接交于,如下图所示:

所以,在中,,

在中由余弦定理得,

所以,所以,

所以,又,

所以平面,所以,

又因为,所以平面；

所以

（2）由（1）知,可建立如下图所示的空间直角直角坐标系:

则,,

,,,

,

设平面的法向量为,

由即,令,可得

设平面的法向量为

由得令,可得,

由

得,因为,所以

此时,,所以四边形为正方形,

因为,,

又因为,所以平面,

所以与平面所成角为