Question

若动点到两点的距离之比为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若为椭圆上一点，过点作曲线的切线与椭圆交于另一点，求面积的取值范围（为坐标原点）.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设,由两点间距离公式并结合条件化简即可求得动点的轨迹方程.

（2）讨论直线的斜率是否存.当斜率不存在时,易得;当斜率存在时,设的方程为,结合点到直线距离公式及切线性质可知到的距离.联立椭圆方程,由韦达定理可得.结合弦长公式表示出.利用换元法求得的取值范围,即可求得面积的取值范围.

（1）设,由条件可知,

即,

所以曲线.

（2）当所在直线斜率不存在时,其方程为,此时,

当所在直线斜率存在时,设其方程为,设,,

到直线的距离,即,所以.

直线与椭圆联立,

得,

所以

所以

令,

,

因为,

所以,

所以,

所以.