Question

已知函数，且.

（1）求；

（2）证明：存在唯一极大值点，且.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据函数解析式变形为,由可知.构造函数,并求得其导函数,通过讨论的不同取值范围,分析函数的单调性及最值,即可求得.

（2）求得导函数.并构造函数,求得.根据导函数判断出的单调区间,并求得与,从而可知唯一的零点在.即,并判断的单调情况,即可得知存在唯一极大值点.因为,代入方程表示为,再代入即可结合证明不等式成立.

（1）因为,且,所以,

构造函数,则,又,

若,则,则在上单调递增,则当时,矛盾,舍去；

若,则,则当时,,则在上单调递增,则矛盾,舍去；

若,则,则当时,,

则在上单调递减,则矛盾,舍去；

若,则当时,,当时,,

则在上单调递减,在上单调递增,

故,则,满足题意；

综上所述,.

（2）证明:由（1）可知,则,

构造函数,则,

又在上单调递增,且,

故当时,,当时,,

则在上单调递减,在上单调递增,

又,,又,

结合零点存在性定理知,在区间存在唯一实数,使得,

当时,,当时,,当时,,

故在单调递增,在单调递减,在单调递增,

故存在唯一极大值点,因为,所以,

故,

因为,所以.