Question

已知函数，且.

（1）求的最小值；

（2）证明：存在唯一极大值点，且.

Answer

（1）0 （2）证明见解析

【解析】

（1）对求导，分析导函数的正负即可得到单调区间和最小值.

（2）首先求导，令，求的单调区间，根据零点存在性定理得到存在唯一实数，使得，再根据的单调性即可得到存在唯一极大值点，计算并证明即可.

【解析】
（1），令，解得.

，，为减函数，

，，为增函数.

（2），

构造函数，则，

令，.

故当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极大值点，

因为，所以，

故