Question

是自然对数的底数，，已知函数，.

（1）若函数有零点，求实数的取值范围；

（2）对于，证明:当时，.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）函数有零点等价于对应方程有实数解，进而分离参数，并通过构造函数，结合求导，利用函数的单调性来确定其最值，从而得以确定参数的范围；（2）通过所要证明的不等式的等价转化，转化为两个不等式问题，通过分类讨论分别加以证明，构造函数并求导，结合函数的单调性与最值来证明与转化．

（1）由函数有零点知，方程有实数解，因为，所以．设，，

则的取值范围转化为函数在上的值域．

因为，所以当，时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，

故函数在时，取得最大值，

又上，，所以函数在上的值域为，．当时，，

所以函数在上的值域为，.

从而函数有零点时，实数的取值范围为，

（2）可以转化为证明两个不等式①，②.

设，所以，

当时，，函数在上单调递减，当时，

，函数在上单调递增．故函数在时，取得最小值

，所以．

得证①

设，有，当时，．函数在上单调递减；当时，函数，在上单调递增．

故函数在时，取得最小值．

所以，得．（仅当时取等号）

又由为增函数，得②.

合并①②得证．