Question

如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.

（1）求证:平面平面；

（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先证明平面，然后可得平面平面；

（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.

（1）平面，平面，得.

又，在中，得，

设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，

因为，所以，

又因为，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则，，.

又设，则，，， ，.

由且知，为平面的一个法向量.

设为平面的一个法向量，则，

即，取，，则，有，得，从而，.

设直线与平面所成的角为，则.

即直线与平面所成角的正弦值为.