Question

如图，直角梯形ABDC中，，，，，.

（1）若S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由；

（2）直角梯形ABDC绕直线AC所在直线旋转一周所得几何体名称是什么?并求出其体积.

Answer

(1)交线和理由见详解；(2)所得几何体为圆台，体积为.

【解析】

（1）找到两个平面的两个公共点，根据公理，即可得到交线；

（2）根据旋转体的特点，即可知道几何体的名称，根据圆台体积计算公式可算出体积.

（1）根据题意，平面SBD和平面SAC的交线为，具体如下图所示：

延长AC，延长BD，取两条直线的交点为M，连接SM，

则SM即为平面SBD和平面SAC的交线为

理由如下：

因为S点在平面SAC中，S点也在平面SBD中，

故S点为两平面的公共点；

又因为M点在直线AC上，直线AC在平面SAC中，

故M点在平面SAC中；

同理，因为M点在直线BD上，直线BD在平面SBD中，

故M点在平面SBD中；

则M点和S点均是平面SAC和平面SBD的公共点

故直线SM为两个平面的交线.

（2）该旋转体为圆台.

其中小圆的圆面积为

大圆的圆面积为

圆台的高即为AC的长度，故

则该圆台的体积为

解得

故该几何体为圆台，且体积为.