Question

已知函数g（x）=ax²﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=，

（1）求a、b的值；

（2）若不等式f（2^x）﹣k•2^x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题（1）由a＞0可知二次函数的图象是开口向上的抛物线，求出对称轴方程，根据函数在区间[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；

（2）利用（1）中求出的函数解析式，把不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解转化为在x∈[﹣1，1]上有解，分离变量k后，构造辅助函数，由k小于等于函数

在x∈[﹣1，1]上的最大值求k的取值范围，然后利用换元法化为二次函数，利用二次函数求最值．

【解析】
（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0），

∵a＞0，对称轴为x=1，所以g（x）在区间[0，3]上是先减后增，

又g（x）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．

故，解得；

（2）由（1）可得，

所以f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，可化为在x∈[﹣1，1]上有解．

即．

令，∵x∈[﹣1，1]，故，

记，对称轴为：，

∵，h（t）单调递增，

故当t=2时，h（t）最大值为．

所以k的取值范围是．