Question

围建一个面积为40平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长），利用的旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）

（1）将表示为的函数；

（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

Answer

（1）；（2）当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.

【解析】

（1）设矩形的另一边长为米，则根据围建的矩形场的面积为40平方米，易得，此时再根据旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，即可得到修建围墙的总费用表示为的函数的解析式.

（2）根据（1）所得的解析式，利用基本不等式，易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值.

（1）设矩形的另一边长为米，

则，

由已知，得，

所以.

（2） 因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

即当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.