Question

已知四棱锥的底面是菱形.

（1）若，求证：平面；

（2），分别是，上的点，若平面，，求的值；

（3）若，平面平面，，判断是否为等腰三角形？并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）不可能为等腰三角形，理由见解析.

【解析】

（1）作辅助线，利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）过作交于，连接，利用平行的传递性以及线面平行的性质得出四边形为平行四边形，进而得出，结合相似三角形的性质得出的值；

（3）作交于点，连接，由面面垂直，线面垂直的性质定理得出，根据直角三角形斜边大于直角边，钝角三角形钝角所对的边大于另外两边，得出，，由等腰三角形的性质得出，进而得到，即可得出不可能为等腰三角形.

（1）证明：设，连接

因为四边形是菱形，所以，.

因为，所以.

因为，平面，所以平面.

（2）过作交于，连接，

在菱形中，，，所以，所以，，，共面.

因为平面，平面，平面平面

所以.

所以四边形为平行四边形.所以.

因为，所以.

（3）不可能为等腰三角形，理由如下：

作交于点，连接

因为平面平面，平面平面，平面

所以平面.

所以.

因为，，平面

所以平面

因为平面，所以.

所以，且.

所以.所以.

在菱形中，若，所以是等边三角形.

所以为的中点，所以，

∴

即.

所以不可能为等腰三角形.