Question

在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于，两点，设直线的方程为．

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；

（2）已知直线与圆相交于，两点．

（ⅰ）若，求实数的取值范围；

（ⅱ）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，

是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

试题（1）由题意，圆心到直线的距离，由直线与圆相切得，由此能求出直线的方程；（2）（i）由题意得：，，由此能求出实数的取值范围；(ii)与圆 联立，得：，由韦达定理求出的坐标，从而得到

，由此能证明存在常数，使得恒成立．

试题解析：（1）【解析】
由题意，，

∴圆心到直线的距离，

∵直线与圆相切，∴，

∴，∴直线．

（2）【解析】
由题意得：，∴，

由（1）可知：，∴，

∴．

（3）证明：，与圆 联立，得：，

∴，，∴，

同理可得：， ∵，

∴，即，

∵，∴， 设，

∴，∴， ∴，即，

∴，∴，

∴存在常数，使得恒成立．

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.