Question

已知函数.

（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；

（2）是否存在实数，使函数在上单调递减，且最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）不存在

【解析】

（1）先求得的表达式，根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得的定义域.利用证得为奇函数.

（2）利用复合函数单调性同增异减求得的取值范围，根据在区间上的最小值列式，由此判断出不存在满足要求的实数.

（1）时，依题意，所以，解得.所以的定义域为.

定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.

（2）不存在

假设存在实数满足条件，记，因，

则在上单调递增，使函数在上单调递减，则，

由函数在上最小值为1，则有，不等式组无解，

故不存在实数满足题意.